Россия |
Эксперименты в пространстве обобщенных состояний и с линейными автоматами с запаздыванием
Эксперименты с линейными автоматами с запаздыванием
Выше были рассмотрены ЛА, в правых частях уравнений переходов и выходов которых фигурировали векторы и матрицы со значениями только в момент времени . Вместе с тем многие реальные процессы и устройства требуют для своего описания использования уравнений с запаздыванием.
Ниже будет использована классификация произвольных дискретных систем (ДС) с запаздыванием, предложенная в [17]. Очевидно, что эта классификация годится и для рассматриваемого нами частного случая ДС - линейных автоматов, заданных над полем . В приведенных ранее обозначениях упомянутая классификация ДС такова:
Обыкновенная ДС - поведение ее описывается уравнением
![]() |
( 12.8) |
Для того чтобы движение обыкновенной ДС было однозначно определено при , для любого входа
должны быть заданы начальные условия
и
ДС с запаздыванием по состоянию - поведение ее описывается уравнением
![]() |
( 12.9) |
Для однозначного определения процесса при любом входе
задаются начальные условия
, где
- некоторое положительное целое число.
ДС с запаздыванием по управлению - поведение ее описывается уравнением
![]() |
( 12.10) |
Для однозначности определения процесса при
при любом входе
должны быть заданы начальные условия
и
, где
- некоторое положительное целое число.
В этом разделе будут рассмотрены вопросы существования СП, УП и ДП и методы их построения для линейных автоматов с запаздыванием, уравнения переходов которых представлены формулами (12.8)-(12.10).
Для получения критериев существования различных типов экспериментов для ЛА с запаздыванием используем следующую идею, изложенную в[71]. Попытаемся из фазового пространства состояний исходной ДС с запаздыванием по состоянию перейти в новое фазовое пространство состояний большей размерности с тем, чтобы уравнение состояний при этом трансформировалось в уравнение состояний ЛА без запаздывания. Аналогичное преобразование проделаем и в случае ЛА с запаздыванием по управлению, переходя от исходного входного вектора к вектору большей размерности с целью получения уравнений ЛА без запаздывания.
Из приведенных выше описаний ДС можно заключить, что участвующие в них векторы , вообще говоря, не всегда представляют собой состояние системы в общепринятом смысле, т. е. ту минимальную по объему информацию, которую необходимо знать в текущий момент времени
для однозначного продолжения процесса
при известном входе
Учитывая сказанное, каждую из перечисленных выше ДС с запаздыванием мы опишем в виде ЛА, определив соответствующим образом для ДС различных типов уравнение ее состояний, а затем для формулировки условий существования СП для этой ДС воспользуемся соответствующим критерием, полученным для ЛА без запаздывания.
Рассмотрим вначале обыкновенную ДС, заданную уравнением (12.8). Состояние этой ДС в произвольный момент времени
определим как вектор
Тогда состояние, в которое она переходит при подаче входного сигнала
, есть вектор
. Таким образом, если эту ДС описывать в виде ЛА, то размерность такого ЛА есть величина
а начальное состояние есть
В качестве входного вектора
этой ДС теперь будем использовать вектор
С учетом изложенного, если описывать рассматриваемую ДС в виде ЛА, уравнение ее переходов состояний примет вид
![]() |
( 12.11) |
Матрицы и
имеют блочную структуру, которая описывается ниже. В роли блоков в матрице
выступают матрицы размерности
, а число "блочных" строк и столбцов ее равно величине
Структура этой матрицы имеет следующий вид (
- единичная матрица размером
):
![A*=
\left [
\begin {matrix}
[0]&E_m&[0] &\dots & [0]\\
[0]&[0]&E_m& \dots &[0]\\
\dots &a \dots & \dots & \dots &\dots \\
[0]&[0]&[0]& \dots E_m\\
\A_{\alpha}& -A_{\alpha -1}& -A_{\alpha -2}& \dots -A_1
\end {matrix}
\right ]](/sites/default/files/tex_cache/14660b7c11382a56884e8aefc4b4089d.png)
В роли блоков матрицы выступают матрицы размерности
. Число "блочных" строк в
равно
, а число "блочных" столбцов -
. Структура этой матрицы такова:
![B*=
\left [
\begin {matrix}
[0]&[0]&[0]&\dots &[0]\\
[0]&[0]&[0]& \dots &[0]\\
\dots & \dots & \dots & \dots &\dots\\
[0] &[0]&[0]& \dots [0]\\
B_{\beta}&b_{\beta -1}&B_{\beta -2}& \dots &B_0
\end {matrix}
\right ]](/sites/default/files/tex_cache/d93ed5448e1c8b6d9df2734c7fc34418.png)
Непосредственной проверкой можно убедиться, что уравнение (12.11) с такими характеристическими матрицами задает линейный автомат, эквивалентный, с точки зрения функционирования, обыкновенной ДС, описанной разностным уравнением (1.1), откуда следует справедливость следующего утверждения:
Теорема 1.1 Для того чтобы ЛА с запаздыванием, описанный уравнением (12.8), имел СП длины , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
.
Рассмотрим теперь ДС с запаздыванием по состоянию. Состояние ее в произвольный момент времени определим как вектор
Тогда следующее состояние после подачи очередного входа будет
Следовательно, при описании этой ДС в виде ЛА размерность последнего равна величине
, а начальное состояние есть
, компонентами которого являются заданные начальные условия. Учитывая сказанное, при описании ДС с запаздыванием по состоянию в виде ЛА уравнение переходов состояний примет вид

где матрицы и
так же, как и в предыдущем случае, имеют блочную структуру. В роли блоков в матрице
выступают матрицы размерности
, а число ее "блочных" строк и столбцов равно
:
![A*=
\left [
\begin {matrix}
[0]&E_m&[0]& \dots &[0]\\
[0]&[0]&E_m& \dots &[0]\\
\dots &\dots &\dots &\dots &\dots\\
[0]&[0]&[0]& \dots &E_m\\
A_1&[0]&[0]& \dots &A
\end {matrix}
\right ]](/sites/default/files/tex_cache/7e23377a48be0bda2e9de3925bd9220c.png)
В роли блоков в матрице выступают матрицы размерности
, "блочных" строк в ней одна, а число столбцов -
:
![B*=[[0] \dots [0]B]'](/sites/default/files/tex_cache/6d8e1d010225753f39cf8c55ab00d2d0.png)
Можно проверить, что уравнение (10.1) с приведенными характеристическими матрицами задают ЛА, эквивалентный, с точки зрения функционирования, ДС с запаздыванием по состоянию, описанную уравнением (12.9). Отсюда следует, что для ДС такого типа справедлив аналог теоремы 10.1.
Рассмотрим, наконец, ДС с запаздыванием по управлению. При описании в виде ЛА состояние последнего в момент времени отождествим с вектором
из (12.10), а входным вектором ЛА теперь будет являться вектор
![\tilde u(t)=[\bar u(t), \bar u(t-1), \dots, \bar u(t-h)]'](/sites/default/files/tex_cache/7e9e4948c613ad963b50a670197cd270.png)
Тогда очевидно, что основная характеристическая матрица соответствующего ЛА просто совпадает с матрицей из (1.1), а в роли матрицы
в формуле (1.1) будет выступать "блочный" вектор
![B*=[B[0] \dots [0] B_1]'](/sites/default/files/tex_cache/cee139193047db25598545bf959264f5.png)
Из изложенного следует, что условие существования СП для ДС с запаздыванием по управлению просто совпадает с соответствующим условием для ЛА, описанного уравнением (1.1).
Подводя итог, отметим, что каждой из перечисленных выше типов ДС можно поставить в соответствие такой ЛА без запаздывания, который эквивалентен соответствующей ДС по поведению. Отсюда следует, что ранее доказанные для ЛА без запаздывания утверждения оказываются справедливыми для ЛА с запаздыванием. В частности, для них имеют место аналоги теорем 1.2, 1.3, следствие из теоремы 1.1 и т. д.
Кроме того, для решения задачи о переводе ЛА с запаздыванием в заданное синхросостояние остается пригодным метод, описанный в разделе 1.2 лекции 1. Проиллюстрируем это на примере применительно к обыкновенной ДС над полем при
и
, заданной уравнением

где и
, т. е.
, а характеристические матрицы ДС имеют следующий вид:
![A_1=
\left [
\begin {matrix}
0&1\\
0&0
\end {matrix}
\right ],
A_2=
\left [
\begin {matrix}
0&0\\
0&0
\end {matrix}
\right ],
B_0=
\left [
\begin {matrix}
0\\
1
\end {matrix}
\right ],
B_1=
\left [
\begin {matrix}
1\\
0
\end {matrix}
\right ]](/sites/default/files/tex_cache/2cb4c2c0d20194d240026dd99f734fbc.png)
Вычисления показывают, что эквивалентный рассматриваемой системе ЛА имеет следующие характеристические матрицы:
![A*=
\left [
\begin {matrix}
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
0&0&0&1\\
0&0&0&0
\end {matrix}
\right ],
B*=
\left [
\begin {matrix}
0&0\\
0&0\\
1&0\\
0&1
\end {matrix}
\right ]](/sites/default/files/tex_cache/71c572863d47f248ba5f9f3611196b5e.png)
При этом состоянием ЛА и его входным вектором являются векторы:
![\bar s(t)=[s_1(t), s_2(t), s_1(t+1), s_2(t+1]', \dots, \bar u(t)=[u_1(t), u_1(t+1)]'](/sites/default/files/tex_cache/a585889222575d9a48b06893490de95f.png)
Пусть задано синхросостояние и требуется найти такую входную последовательность, которая переводит ДС из произвольного начального состояния в синхросостояние
.
Легко проверить, что откуда вытекает, что эквивалентный рассматриваемой системе ЛА синхронизируем и длина минимальной СП равна 3. Для нахождения искомой СП выпишем матричное уравнение вида (1.14) для нашего примера:

С учетом приведенных выше матриц и
это уравнение принимает следующий вид:
![\left [
\begin {matrix}
0&1\\
0&0\\
0&0\\
0&0
\end {matrix}
\right ] \times
\left [
\begin {matrix}
u_1(0)\\
u_1(1)
\end {matrix}
\right ] +
\left [
\begin {matrix}
1&0\\
0&1\\
1&0\\
0&0
\end {matrix}
\right ] \times
\left [
\begin {matrix}
u_1(1)\\
u_2(1)
\end {matrix}
\right ] +
\left [
\begin {matrix}
0&0\\
0&0\\
1&0\\
0&1
\end {matrix}
\right ] \times
\left [
\begin {matrix}
u_1(2)\\
u_1(3)
\end {matrix}
\right ] =
\left [
\begin {matrix}
0\\
1\\
-\\
1
\end {matrix}
\right ]](/sites/default/files/tex_cache/01e21b4c3f535568c9c36008ef224d3e.png)
Перейдем от этого уравнения к равносильной системе, записанной в координатной форме:

где "+" - операция по модулю 2.
Легко проверить, что эта система совместна и ее решение таково:

где х означает безразличное значение (0 или 1). Следовательно, для рассматриваемой ДС в качестве СП, переводящей ее из произвольного начального состояния в заданное синхросостояние , могут быть использованы две следующие входных последовательностей:
-
,
-
.
Коснемся теперь критериев существования УП и ДП для ДС с запаздыванием.
Поскольку, как показано выше, каждый из рассматриваемых типов ДС соответствует эквивалентной ей ЛА без запаздывания, то критерий существования УП и ДП для ДС с запаздыванием - это теорема 1.4 и 2.1, в которых вместо матриц А и С должны фигурировать матрицы и
эквивалентных ЛА. Кроме того, для ДС с запаздыванием оказываются справедливыми аналоги теорем 10.5, 11.1 и 11.3.
Вопросы и упражнения
- Дайте определение обобщенного состояния автомата.
- Укажите различие между классической диаграммой автомата и диаграммой автомата в пространстве обобщенных состояний.
- Сформулируйте критерий управляемости обобщенного автомата в матричной форме.
- Может ли автомат, не являющийся сильно связным в классическом понимании, оказаться сильно связным в пространстве обобщенных состояний?
- Дайте определения обобщенных синхронизирующих, установочных и диагностических последовательностей.
- Сформулируйте критерии существования таких последовательностей.
- Являются ли свойства обобщенных последовательностей аналогами соответствующих свойств обычных последовательностей тех же типов для "классических" линейных автоматов?
- Приведите классификацию линейных автоматов с запаздыванием. 9. Изложите основополагающую идею для получения критериев существования всех типов последовательностей для всех типов автоматов с запаздыванием.