НОУ ИНТУИТ | Основы теории вычислимых функций. Лекция 8: Арифметическая иерархия

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 16.03.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 5 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Универсальные множества вSigma _n и Pi _n

До сих пор мы не показали, что классы $\Sigma _{n}$ и $\Pi _{n}$ действительно различаются при разных n. Чтобы показать это, убедимся, что в каждом из этих классов имеется универсальное множество (для соответствующего класса) и что оно не принадлежит меньшим классам.

Теорема 54. Для любого n в классе $\Sigma _{n}$ существует множество, универсальное для всех множеств класса $\Sigma _{n}$ . (Его дополнение будет универсальным в классе $\Pi _{n}$ .)

Говоря об универсальном множестве из класса $\Sigma _{n}$ , мы имеем в виду множество пар натуральных чисел, которое принадлежит классу $\Sigma _{n}$ и среди сечений которого встречаются все множества натуральных чисел, принадлежащие классу $\Sigma _{n}$ .

Для класса $\Sigma _{1}$ (перечислимых множеств) существование универсального множества мы уже обсуждали. С его помощью можно построить универсальные множества и для более высоких классов иерархии. (Начинать надо с первого уровня, так как на " нулевом" уровне не существует универсального разрешимого множества.)

По определению свойства класса $\Pi _{2}$ имеют вид $S(x) \Leftrightarrow \forall\ y\ \exists\ z R(x,y,z)$ , где R некоторое разрешимое свойство. Но их можно эквивалентно определить и как свойства вида $S(x) \Leftrightarrow \forall\ y\ P(x,y)$ , где P некоторое перечислимое свойство. Теперь уже видно, как построить универсальное множество класса $\Pi _{2}$ . Возьмем универсальное перечислимое свойство U(n,x,y), из которого фиксацией различных n получаются все перечислимые свойства пар натуральных чисел. Тогда из свойства $T(n,x)= \forall \ y\ U(n,x,y)$ при различных натуральных n получаются все $\Pi _{2}$ -свойства натуральных чисел. С другой стороны, само свойство T по построению принадлежит классу $\Pi _{2}$ .

Дополнение к универсальному $\Pi _{2}$ -множеству будет, очевидно, универсальным $\Sigma _{2}$ -множеством.

Аналогично можно действовать и для $\Sigma _{3}$ - и $\Pi _{3}$ -множеств (удобнее сначала рассуждать о $\Sigma _{3}$ -множествах, так как в них внутренний квантор является квантором существования и задает перечислимое множество), и вообще для $\Sigma _{n}$ - и $\Pi _{n}$ -множеств.

Теорема 55. Универсальное $\Sigma _{n}$ -множество не принадлежит классу $\Pi _{n}$ . Аналогичным образом, универсальное $\Pi _{n}$ -множество не принадлежит классу $\Sigma _{n}$ .

Рассмотрим универсальное $\Sigma _{n}$ -свойство T(m,x). По определению это означает, что среди его сечений (получающихся, если зафиксировать m ) есть все $\Sigma _{n}$ -свойства. Пусть T принадлежит классу $\Pi _{n}$ . Тогда его диагональ, свойство D(x)=T(x,x), также лежит в $\Pi _{n}$ (например, потому, что D <=_m T ), а ее отрицание, свойство $\neg D(x)$ , принадлежит классу $\Sigma _{n}$ . Но этого не может быть, так как $\neg D$ отлично от всех сечений свойства T (оно отличается от m -го сечения в точке m ), а T универсально.

Из этой теоремы следует, в частности, что любой из классов $\Sigma _{n}$ и $\Pi _{n}$ является собственным подмножеством любого из классов $\Sigma _{n+1}$ и $\Pi _{n+1}$ . (Мы увидим вскоре, что даже объединение $\Sigma _{n} \cup \Pi _{n}$ является собственным подмножеством пересечения $\Sigma _{n+1} \cap \Pi _{n+1}$ .)

Операция скачка

Мы хотим показать, что класс $\Sigma _{n}$ совпадает с классом всех A -перечислимых множеств для некоторого множества A (зависящего от n, естественно). Чтобы объяснить, что это за множество, нам понадобится так называемая операция скачка.

Пусть X произвольное множество. Среди X -перечислимых множеств есть универсальное. Это множество будет m -полным в классе X -перечислимых множеств в том смысле, что все другие X -перечислимые множества к нему m -сводятся. Сводящая функция, как мы видели, имеет вид x $\mapsto$ [n,x] (и вычислима безо всякого оракула, как того и требует определение m -сводимости). Будем обозначать через X' любое m -полное множество в классе X -перечислимых множеств. Можно сказать, что X' определено с точностью до m -эквивалентности.

Более формально, будем говорить, что множества P и Q являются m - эквивалентными, если P <=_m Q и Q <=_m P. (Легко видеть, что это действительно отношение эквивалентности.) Класс эквивалентных множеств называют m - степенью. Таким образом, можно сказать, что мы для каждого множества X определили некоторую m -степень X'.

Аналогичным образом определяют T - степени (которые называют также тьюринговыми степенями или степенями неразрешимости ) как классы T -эквивалентных множеств; множества P и Q называют T - эквивалентными, или эквивалентными по Тьюрингу, если P <=_T Q и Q<=_T P, то есть если каждое из множеств разрешимо относительно другого. Если множества P и Q эквивалентны по Тьюрингу, то класс P -вычислимых функций совпадает с классом Q -вычислимых функций (а класс P -перечислимых множеств совпадает с классом Q -перечислимых множеств). Введя понятие T -степени, можно сказать, что m -степень X' определяется T -степенью множества X и тем самым определено отображение множества всех T -степеней в множество всех m -степеней. Это отображение называют операцией скачка ; множество (точнее, m -степень) X' называют скачком множества (точнее, T -степени) X.

65. Могут ли при этом отображении разные T -степени переходить в одну и ту же m -степень? нет, так как перечислимые одни и те же и разрешимые тоже

66. Докажите, что любые два m -полных в классе $\Sigma _{n}$ множества вычислимо изоморфны (отличаются вычислимой перестановкой).

67. Покажите, что для любого перечислимого множества A можно указать такое действительное число $\alpha,$ что множество всех рациональных чисел, меньших $\alpha,$ будет перечислимо и эквивалентно по Тьюрингу множеству A.

Обычно, впрочем, операцию скачка рассматривают на T -степенях, считая ее результатом T -степень, содержащую X' (это законно, так как T -классификация более грубая).

Нам понадобятся следующие T -степени: 0 (степень, содержащая все разрешимые множества), 0' (ее скачок, степень m -полного перечислимого неразрешимого множества; мы ее уже рассматривали), затем 0'' (скачок степени 0' ), 0''' и так далее; вообще 0⁽ⁿ⁺¹⁾= (0⁽ⁿ⁾)'.

Теорема 56. При любом n >= 1 класс $\Sigma _{n}$ совпадает с классом всех 0^(n-1) -перечислимых множеств.

(Пока что мы знаем это при n=1.)

Докажем сначала, что все $\Sigma _{n}$ -множества перечислимы относительно 0^(n-1). Это делается индукцией по n. При n=1 это известно. Рассмотрим теперь произвольное множество X из $\Sigma _{2}$ . По определению,

$x \in X \Leftrightarrow \exists\ y\ \forall\ z\ R(x,y,z),$

где R разрешимое свойство. Свойство $\forall\ z\ R(x,y,z)$ имеет перечислимое отрицание. Это отрицание разрешимо относительно 0', так как m -сводится к m -полному перечислимому множеству. Значит, и само свойство $\forall \ z\ R(x,y,z)$ разрешимо относительно 0'. Поэтому его проекция, множество X, перечислимо относительно 0'.

Аналогично можно рассуждать и для больших n. Если X принадлежит $\Sigma _{3}$ , то

$x \in X \Leftrightarrow \exists\ y\ R(x,y),$

где R принадлежит $\Pi _{2}$ . Отрицание R принадлежит $\Sigma _{2}$ (по доказанному), поэтому 0' -перечислимо, поэтому 0'' -разрешимо, поэтому само R тоже 0'' -разрешимо, а его проекция 0'' -перечислима.

Первая половина теоремы доказана.

Для доказательства второй половины нам потребуется некоторое свойство классов $\Sigma _{n}$ и $\Pi _{n}$ . Рассмотрим какую-нибудь вычислимую нумерацию всех конечных множеств натуральных чисел. Обозначим через D_x конечное множество номер x. Для произвольного множества A рассмотрим множество Subset(A) всех конечных подмножеств A, точнее, множество всех их номеров:

$x \in Subset(A) \Leftrightarrow D_{x} \subset A.$

Лемма 1. Если множество A принадлежит классу $\Sigma _{n}$ [или $\Pi _{n}$ ], то множество Subset(A) также принадлежит классу $\Sigma _{n}$ [соответственно $\Pi _{n}$ ].

(Утверждение этой леммы обобщает сформулированное в задаче 63 утверждение о множестве Ax A: теперь мы рассматриваем не пары, а произвольные кортежи.)

Доказательство леммы. Пусть множество A принадлежит, например, классу $\Sigma _{3}$ :

$x \in A \Leftrightarrow \exists\ y\ \forall\ z\ \exists\ t\ R(x,y,z,t),$

где R разрешимое свойство. Тогда можно записать свойство $\{ x_{1}, \dots ,x_{n}\} \subset A$ следующим образом:

$\begin{multiline*} \exists \langle y_1,\dots,y_n \rangle \forall \langle z_1,\dots,z_n \rangle \exists \langle t_1,\dots,t_n \rangle [R(x_1,y_1,z_1,t_1) \land \ldots \\ \ldots\land R(x_n,y_n,z_n,t_n)] \end{multiline*}$

Эта формула использует кванторы по кортежам натуральных чисел (переменной длины), но их можно заменить на номера этих кортежей в какой-нибудь вычислимой нумерации. При этом стоящая под кванторами формула (она записана несколько условно: символическая конъюнкция на самом деле имеет переменную длину) является разрешимым свойством номеров кортежей, поэтому вся правая часть является $\Sigma _{3}$ -свойством.

(На самом деле мы допустили еще одну вольность речи: правая часть является не свойством конечного множества {x₁,...,x_n}, а свойством кортежа (упорядоченной последовательности) $\langle x_1,\dots,x_n\rangle$ . Но переход от номера множества к номеру какого-то кортежа, содержащего все его элементы, вычислим, так что проблемы тут нет.)

Лемма доказана.

Дальше >>

Основы теории вычислимых функций

Основы теории вычислимых функций

Арифметическая иерархия

Универсальные множества вSigma _n и Pi _n

Операция скачка

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Основы теории вычислимых функций

Основы теории вычислимых функций

Арифметическая иерархия

Универсальные множества вSigma _n и Pi _n

Операция скачка

Вопросы и ответы

Студенты