НОУ ИНТУИТ | Введение в Octave. Лекция 9: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 12.03.2015 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Компания ALT Linux

|

Вам нравится? Нравится 15 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

9.4 Решение систем дифференциальных уравнений

Все рассмотренные методы решения дифференциальных уравнений применимы и для систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим на примере метода Рунге-Кутта, как рассмотренные методы можно обобщить для систем.

Пусть дана система дифференциальных уравнений в матричном виде:

$\left\{\begin{aligned}\frac{d\bar{x}}{dt}&=\bar{f}(t,\bar{x})\\ \bar{x}(t_{0})&=\bar{x}_{0} \quad(\text{начальное условие}), \end{aligned}$

( 9.27)

$$\left\{\begin{aligned}\frac{d\bar{x}}{dt}&=\bar{f}(t,\bar{x})\\ \bar{x}(t_{0})&=\bar{x}_{0} \quad(\text{начальное условие}), \end{aligned}$\\ \mbox{где}\bar{x}=\left(\begin{matrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\dots\\x_{n}(t)\end{matrix}\right),\bar{f}(t,\bar{x})=\left(\begin{matrix}f_{1}(t,x_{1},x_{2,}\dots,X_{n})\\f_{2}(t,x_{1},x_{2,}\dots,X_{n})\\\hdotsfor{1}\\f_{n}(t,x_{1},x_{2,}\dots,X_{n})\end{matrix}\right),\bar{x}_0=\left(\begin{matrix}x_{1}^{0}\\x_{2}^{0}\\\dots\\x_{n}^{0}\end{matrix}\right).$

Задавшись некоторым шагом и введя стандартные обозначения $t_{i}=t_{0}+ih,x_{i}=x(t_{i}), \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}, i=1,2,\dots, n$ получим формулы метода Рунге-Кутта для системы:

$\left\{ \begin{aligned} \bar{x}_{i+1}&=\bar{x}_i+\Delta \bar{x}_i,i=1,n\\ \Delta\bar{x}_{i}&=\frac{h}{6}(\bar{K}_{1}^{i}+2\bar{K}_{2}^{i}+2\bar{K}_{3}^{i}+\bar{K}_{4}^{i})\\ \bar{K}_{1}^{i}&=\bar{f}(t_{i},\bar{x}_{i})\\ \bar{K}_{2}^{i}&=\bar{f}(t_{i}+\frac{h}{2},\bar{x}_{i}+\frac{h}{2}\bar{K}_{1}^{i})\\ \bar{K}_{3}^{i}&=\bar{f}(t_{i}+\frac{h}{2},\bar{x}_{i}+\frac{h}{2}\bar{K}_{2}^{i})\\ \bar{K}_{4}^{i}&=\bar{f}(t_{i}+h,\bar{x}_{i}+h\bar{K}_{3}^{i}) \end{aligned} \right.$

Дальше >>

Введение в Octave

Введение в Octave

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

9.4 Решение систем дифференциальных уравнений

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в Octave

Введение в Octave

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

9.4 Решение систем дифференциальных уравнений

Вопросы и ответы

Студенты