НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 3: Конечные автоматы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

2.2. Конфигурация конечного автомата

Определение 2.2.1. Конфигурацией или мгновенным описанием (instantaneous description) конечного автомата $\langle Q , \Sigma , \Delta , I , F \rangle$ называется любая упорядоченная пара $\langle q , w \rangle$ , где $q \in Q$ и $w \in \Sigma ^*$ .

Замечание 2.2.2. Содержательно конфигурация представляет собой "мгновенное описание" конечного автомата. Если представить, что исходное слово, принадлежность которого рассматриваемому языку надо проверить, дано в некотором "входном потоке", то в конфигурации $\langle q , w \rangle$ слово w есть та часть исходного слова, которая пока осталась во входном потоке (это некоторый суффикс исходного слова), а q - текущее состояние "управляющего устройства".

Определение 2.2.3. Определим на множестве всех конфигураций конечного автомата M бинарное отношение $\vdash$ ( такт работы (step)) следующим образом. Если $\langle p , x , q \rangle \in \Delta$ и $w \in \Sigma ^*$ , то $\langle p , x w \rangle \vdash \langle q , w \rangle$ . Иногда вместо $\vdash$ пишут $\underset{ \Delta }{\vdash}$ .

Пример 2.2.4. Рассмотрим конечный автомат

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{0,1} ^{aaa} \ar `ur_r{+/u7mm/}`r_dr{[0,2]}^{ab} "1,3" \ar "1,3" ^{b} & & *=[o][F=]{2} \ar `dl_l{+/d7mm/}`l_ul{[0,-2]}^{\varepsilon} "1,1" }$

из примера 2.1.2. Тогда $\langle 1 , abba \rangle \vdash \langle 2 , ba \rangle$ .

Определение 2.2.5. Бинарное отношение $\overset * {\vdash}$ определяется как рефлексивное, транзитивное замыкание отношения $\vdash$ .

Пример 2.2.6. Для конечного автомата из примера 2.1.2 выполняется $\langle 1 , aaaab \rangle \overset * {\vdash} \langle 1 , aaaab \rangle$ и $\langle 1 , aaaab \rangle \overstar{\vdash} \langle 2 , \varepsilon \rangle$ .

Лемма 2.2.7. Пусть дан конечный автомат $M = \langle Q , \Sigma , \Delta , I , F \rangle$ . Слово $w \in \Sigma ^*$ принадлежит языку L(M) тогда и только тогда, когда для некоторых $p \in I$ и $q \in F$ верно $\langle p , w \rangle \overset * {\vdash} \langle q , \varepsilon \rangle$ .

Лемма 2.2.8. Если $\langle q_1 , x \rangle \overset * {\vdash} \langle q_2 , \varepsilon \rangle$ и $\langle q_2 , y \rangle \overset * {\vdash} \langle q_3 , \varepsilon \rangle$ , то $\langle q_1 , x y \rangle \overset * {\vdash} \langle q_3 , \varepsilon \rangle$ .

Доказательство. Лемму легко доказать индукцией по количеству тактов в вычислительном процессе, ведущем из конфигурации $\langle q_1 , x \rangle$ в конфигурацию $\langle q_2 , \varepsilon \rangle$ .

Упражнение 2.2.9. Рассмотрим конечный автомат.

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{0,1} ^{a} \rloop{0,-1} ^{b} \ar "1,2" ^{a} & *=[o][F-]{2} \ar "1,3" ^{b} & *=[o][F=]{3} }$

Перечислить все конфигурации $\langle q , w \rangle$ , удовлетворяющие условию $\langle 1 , abaa \rangle \overset * {\vdash} \langle q , w \rangle$ .

Упражнение 2.2.10. Существуют ли конечный автомат M, состояния q₁, q₂ и слова x, y, z, такие что $\langle q_1 , x y \rangle \overset * {\vdash} \langle q_2 , y \rangle$ и $\langle q_1 , x z \rangle \overset * {\nvdash} \langle q_2 , z \rangle$ ?

Упражнение 2.2.11. Как связаны |Q|, $| \Sigma |$ , $| \Delta |$ , |w| и число достижимых из $\langle q , w \rangle$ (в смысле $\overset * {\vdash}$ ) конфигураций?

2.3. Конечные автоматы с однобуквенными переходами

Лемма 2.3.1. Каждый автоматный язык распознается некоторым конечным автоматом, не содержащим переходов с метками длины больше единицы и имеющим ровно одно начальное состояние и ровно одно заключительное состояние.

Пример 2.3.2. Рассмотрим язык, заданный конечным автоматом $\langle Q , \Sigma , \Delta , I , F \rangle$ , где Q = {1,2}, $\Sigma = \{ a , b , c , d \}$ , I = {1,2}, F = {1,2},

$\Delta = \{ \langle 1 , ab , 2 \rangle ,\ \langle 2 , cd , 1 \rangle \} .$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { % & *=[o][F=]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar `dr_dl{[2,0]}_{ab} "3,2" & \\ % & & \\ % & *=[o][F=]{2} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar `ul_ur{[-2,0]}_{cd} "1,2" & }$

Тот же язык распознается конечным автоматом $\langle Q' , \Sigma , \Delta' , I' , F' \rangle$ , где Q' = {0,1,2,3,4,5}, I' = {0}, F' = {5},

$\Delta' = \{ \langle 1 , a , 3 \rangle , \langle 3 , b , 2 \rangle , \langle 2 , c , 4 \rangle , \langle 4 , d , 1 \rangle , \langle 0 , \varepsilon , 1 \rangle , \langle 0 , \varepsilon , 2 \rangle , \langle 1 , \varepsilon , 5 \rangle , \langle 2 , \varepsilon , 5 \rangle \} .$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { % & & *=[o][F-]{1} \ar "2,4" _{a} \ar "2,5" ^{\varepsilon} & & \\ *=[o][F-]{0} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar "1,3" ^{\varepsilon} \ar "3,3" _{\varepsilon} & *=[o][F-]{4} \ar "1,3" _{d} & & *=[o][F-]{3} \ar "3,3" _{b} & *=[o][F=]{5} \\ % & & *=[o][F-]{2} \ar "2,2" _{c} \ar "2,5" _{\varepsilon} & & }$

Здесь первые два перехода заменяют старый переход $\langle 1 , ab , 2 \rangle$ и следующие два перехода заменяют старый переход $\langle 2 , cd , 1 \rangle$ . Чтобы обеспечить единственность начального состояния, добавлены переходы $\langle 0 , \varepsilon , 1 \rangle$ и $\langle 0 , \varepsilon , 2 \rangle$ . Последние два перехода в $\Delta'$ обеспечивают единственность заключительного состояния.

Лемма 2.3.3. Каждый автоматный язык распознается некоторым конечным автоматом, содержащим только переходы с метками длины единица и имеющим ровно одно начальное состояние.

Доказательство. Согласно лемме 2.3.1 можно предположить, что исходный язык задан конечным автоматом $\langle Q , \Sigma , \Delta , I , F \rangle$ , не содержащим переходов с метками длины больше единицы, причем |I| = 1. Построим искомый конечный автомат $\langle Q' , \Sigma , \Delta' , I' , F' \rangle$ , положив Q' = Q, I' = I,

$\begin{align*} \Delta' &= \{ \langle p , a , r \rangle \mid a \in \Sigma \;\text{и найдется такое}\; q \in Q , \\&\quad \text{что}\; \langle q , a , r \rangle \in \Delta \;\text{и существует путь из}\; p \;\text{в}\; q \;\text{с меткой}\; \varepsilon \} ,\\ F' &= \{ p \in Q \mid \text{найдется такое}\; q \in F , \\&\quad \text{что существует путь из}\; p \;\text{в}\; q \;\text{с меткой}\; \varepsilon \} . \end{align*}$

Пример 2.3.4. Пусть $M = \langle Q , \Sigma , \Delta , I , F \rangle$ , где Q = {1,2,3}, $\Sigma = \{ a , b \}$ , I = {1}, F = {3},

$\Delta = \{ \langle 1 , a , 2 \rangle ,\ \langle 2 , b , 2 \rangle ,\ \langle 2 , \varepsilon , 3 \rangle ,\ \langle 3 , a , 3 \rangle \} .$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar "1,2" ^{a} & *=[o][F-]{2} \rloop{0,1} ^{b} \ar "1,3" ^{\varepsilon} & *=[o][F=]{3} \rloop{0,1} ^{a} }$

Легко убедиться, что $L ( M ) = \{ a b^m a^n \mid m \geqslant 0, n \geqslant 0 \}$ . Тот же язык распознается конечным автоматом $\langle Q , \Sigma , \Delta' , I , F' \rangle$ , где F' = {2,3} и

$\Delta' = \{ \langle 1 , a , 2 \rangle ,\ \langle 2 , b , 2 \rangle ,\ \langle 2 , a , 3 \rangle ,\ \langle 3 , a , 3 \rangle \} .$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar "1,2" ^{a} & *=[o][F=]{2} \rloop{0,1} ^{b} \ar "1,3" ^{a} & *=[o][F=]{3} \rloop{0,1} ^{a} }$

Упражнение 2.3.5. Найти конечный автомат с однобуквенными переходами, распознающий язык $\{ a^n b^m \mid n \geqslant 3 ,\ m \geqslant 3 \}$

Упражнение 2.3.6. Найти конечный автомат с однобуквенными переходами, распознающий язык $\{ a^n b^m c^k d \mid n \geq 0 ,\ m \geqslant 0 ,\ k \geqslant 0 \}$

Упражнение 2.3.7. Существуют ли автоматный язык, который не распознается никаким конечным автоматом, содержащим только переходы с метками длины единица и имеющим ровно одно начальное состояние и ровно одно заключительное состояние?

Дальше >>

Математическая теория формальных языков

Математическая теория формальных языков

Конечные автоматы

2.2. Конфигурация конечного автомата

2.3. Конечные автоматы с однобуквенными переходами

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Математическая теория формальных языков

Математическая теория формальных языков

Конечные автоматы

2.2. Конфигурация конечного автомата

2.3. Конечные автоматы с однобуквенными переходами

Вопросы и ответы

Студенты