НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию множеств. Лекция 13: Индуктивные определения и степени

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.02.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 29 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Теорема 42. Всякий ординал, меньший $\alpha^\beta$ , представляется в виде

$\alpha^{\beta_1}\alpha_1 + \alpha^{\beta_2}\alpha_2+\ldots+ \alpha^{\beta_k}\alpha_k$

, где $\beta\hm>\beta_1\hm>\beta_2\hm>\ldots\hm>\beta_k$ , а $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k\hm<\alpha$ . Такое представление однозначно и любая сумма указанного вида является ординалом, меньшим $\alpha^\beta$ .

Доказательство. Возможность такого представления мы уже доказали. Последнее утверждение следует из того, что любая сумма такого вида является начальным отрезком в множестве $[B\to A]$ (где и упорядочены по типам $\alpha$ и $\beta$ ) и разным суммам соответствуют разные начальные отрезки.

Это утверждение обобщает описанную нами ранее " позиционную систему обозначений с основанием $\alpha$ " для ординалов, меньших $\alpha^k$ ; теперь вместо можно использовать любой ординал.

Можно было бы сразу сказать, что элементами множества $[B\to A]$ являются формальные суммы вида

$\alpha^{\beta_1}\alpha_1 + \alpha^{\beta_2}\alpha_2+\ldots+ \alpha^{\beta_k}\alpha_k$

(где $\beta\hm>\beta_1\hm>\ldots\hm>\beta_k$ и $\alpha_1,\dots,\alpha_k\hm<\alpha$ ) с естественным порядком на них.

Теперь уже понятно, как устроены ординалы в последовательности

$\omega^\omega, \omega^{(\omega^\omega)},\ldots$

Первый из них образован " одноэтажными" выражениями вида

$\omega^{b_1}a_1 + \omega^{b_2}a_2+\ldots+ \omega^{b_k}a_k,$

где

и

- натуральные числа (и $b_1\hm>\dots\hm>b_k$ ). Если в качестве $b_1, \dots, b_k$ разрешить писать любые " одноэтажные" выражения указанного вида, то полученные " двухэтажные" выражения упорядочены по типу $\omega^{(\omega^\omega)}$ . Разрешив в показателях двухэтажные выражения, мы получим трехэтажные выражения, которые образуют следующий ординал и т.д Если объединить все эти множества, то есть не ограничивать число этажей (которое для каждого выражения тем не менее конечно), то получится множество, упорядоченное по типу

$\sup(\omega, \omega^\omega, \omega^{(\omega^\omega)},\ldots)$

Этот ординал обозначается $\varepsilon_0$ .

140. Докажите, что

$\varepsilon_0 = \omega + \omega^\omega + \omega^{(\omega^\omega)}+\ldots$

141. Определим для натуральных чисел операцию " тотальной замены основания на " (здесь и - натуральные числа, причем $l\hm>k$ ) следующим образом: данное число запишем в - ичной системе, то есть разложим по степеням , показатели степеней снова запишем в - ичной системе, новые показатели также разложим и т.д. Затем на всех уровнях заменим основание на основание и вычислим значение получившегося выражения. Докажите, что начав с любого и выполняя последовательность операций " вычитание единицы - тотальная замена основания на - вычитание единицы - тотальная замена основания на - вычитание единицы - тотальная замена основания на -, $\dots$ ", мы рано или поздно зайдем в тупик,т.е. получится нуль и вычесть единицу будет нельзя. (Указание: заменим все основания сразу на ординал $\omega$ ; получится убывающая последовательность ординалов, меньших $\varepsilon_0$ .)