Численное интегрирование
7.5. Вычисление интегралов от функций с особенностями
Пусть требуется вычислить несобственный интеграл

от функции, обращающейся в бесконечность в некоторой точке В этом случае интеграл обычно разбивают на два

Числа и
выбирают малыми величинами так, чтобы выполнялась оценка:

где — заданное малое положительное число
(точность вычисления интеграла). После этого по квадратурным формулам вычисляют определенные интегралы
и
с точностью
каждый. После таких вычислений за приближенное значение интеграла с особенностью принимают
(с точностью
).
Другой способ вычисления интеграла от функции особенностью, называемый методом Канторовича выделения особенностей, состоит в следующем. Представим подынтегральную функцию в виде суммы:
![\int\limits_{a}^{b}{f(t)dt = \int\limits_{a}^{b}{g(t)dt} + \int\limits_{a}^{b}{\left[{f(t) - g(t)}\right] dt.}}](/sites/default/files/tex_cache/b176aafd436e5027b02df6c18c58fa6f.png)
При этом g(t) подбирают так, чтобы она была интегрируемой, а разность [f(t) - g(t)] — ограниченной.
Пример. Пусть необходимо вычислить

Представим I как сумму двух интегралов I = I1 + I2, где
![$ I_1 = \int\limits_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t}}, I_2 = \int\limits_0^1 [\frac{1}{\sqrt{t(1 + t^2)}} - \frac{1}{\sqrt{t}}]dt . $](/sites/default/files/tex_cache/72a41e5a736bd9ad690467f5068c4e8c.png)
Интеграл I1 вычисляется аналитически, а I2, поскольку подынтегральная функция ограничена, можно вычислить по квадратным формулам.
Аналогично можно поступить и в следующей задаче:

Интегрирование быстро осциллирующих функций типа можно проводить, заменив f(t) на интерполяционный полином,
Этот интеграл вычисляется явно.
7.6. Идея метода Монте - Карло
Метод Монте - Карло используется, как правило, для вычисления кратных интегралов. Рассмотрим задачу вычисления интеграла по многомерному кубу:

Для его вычисления можно построить кубатурные формулы, используя процедуру последовательного интегрирования, заменяя кратный интеграл I на

Проблема вычисления подобных интегралов заключается в том, что при росте размерности задачи объем вычисления значительно увеличивается, а задача численного интегрирования превращается из довольно простой в одну из самых сложных и трудоемких. По этой причине приведенные выше квадратурные формулы используются обычно для решения одно - , дву - и трехмерных задач.
Для вычисления интегралов по гиперкубу высокой размерности обычно используется метод Монте - Карло. Суть его состоит в том, что генерируется последовательность случайных точек единичного n - мерного куба ; очевидно, что чем больше точек участвует в вычислительном процессе, тем больше точность расчета.
Пусть теперь необходимо взять интеграл по области
принадлежащей n - мерному кубу, причем,
выделяется неравенствами

Далее генерируется последовательность случайных чисел, равномерно распределенная в единичном гиперкубе, и для всех точек проверяются неравенства Если они выполнены, т.е.
то вычисляются значения f(t_k), прибавляющиеся к сумме.
Пусть вычислено M точек, из которых {K} попали в и накоплена сумма
Среднее по объему значение функции f
вычисляется по формуле




С другой стороны, это же значение можно приближенно вычислить как сумму:
![\left[{\sum {f(t_k)}}\right]/K.](/sites/default/files/tex_cache/95ed41b42a578f48b698fcd40ef506ab.png)
Приравнивая эти выражения, получим:
