НОУ ИНТУИТ | Введение в вычислительную математику. Лекция 2: Предмет вычислительной математики. Обусловленность задачи, устойчивость алгоритма, погрешности вычислений. Задача численного дифференцирования

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский физико-технический институт

|

Вам нравится? Нравится 54 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

1.4. Погрешность метода

Оценим погрешность при вычислении первой производной при помощи соотношения:

$f^{\prime}(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

:

$\frac {f(x + h ) - f(x)}{h} = \frac {[f(x) + hf^{\prime}(x) + O(h^2)] - f(x)}{h} = f^{\prime}(x) + O(h),$

где O(h) есть погрешность метода. В данном случае под погрешностью метода понимается абсолютная величина разности

$\left|{f^{\prime}(x) - \frac{f(x + h) - f(x)}{h}}\right|$

, которая составляет O(h) (более точно

$\frac{h}{2}f^{\prime\prime}(\xi )$

, где $\xi \in [x,x + h]$ ).

Если же взять другой метод вычисления производной

$f^{\prime}(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$

, то получим, что его погрешность составляет O(h²), это оказывается существенным при малых h. Однако уменьшать h до бесконечности не имеет смысла, что видно из следующего примера. Реальная погрешность при вычислении первой производной будет

$\Delta = \frac{h}{2} \max\limits_{\xi \in [x,x + h]} \left|{f^{\prime\prime}(\xi )}\right| + \frac{2\delta_M}{h} = O (h) + O(h^{- 1}),$

поскольку абсолютная погрешность вычисления значения функции за счет машинного округления не превосходит

$$ \frac{2\delta_M}{h} $.$

В этом случае можно найти оптимальный шаг h. Будем считать полную погрешность в вычислении производной $\Delta$ функцией шага h. Отыщем минимум этой функции. Приравняв производную $\Delta '_{h}(h)$ к нулю, получим оптимальный шаг численного дифференцирования

$h_{\text{опт}} = 2\sqrt{\frac{\delta_M}{\max\limits_{\xi \in [x,x + h]} \left|{f^{\prime\prime}(\xi )}\right|}}.$

Выбирать значение h меньше оптимального не имеет смысла, так как при дальнейшем уменьшении шага суммарная погрешность начинает расти из-за возрастания вклада ошибок округления.

1.5. Элементы теории погрешностей

Определение. Пусть u и u^* — точное и приближенное значение некоторой величины, соответственно. Тогда абсолютной погрешностью приближения u^* называется величина $\Delta (u^{*})$ , удовлетворяющая неравенству

$\left|{u - u^*}\right| \le \Delta (u^*).$

Определение. Относительной погрешностью называется величина $\delta (u^*)$ , удовлетворяющая неравенству

$\left|{\frac{u - u^*}{u^*}}\right| \le \delta (u^*).$

Обычно используется запись $u = u^*(1 \pm \delta (u^*)).$

Определение. Пусть искомая величина u является функцией параметров $t_1, \ldots t_n \in \Omega$ , u^* — приближенное значение u. Тогда предельной абсолютной погрешностью называется величина

$D(u^*) = \sup\limits_{(t_1, \ldots ,t_n) \in \Omega } \left|{u(t_1, \ldots ,t_n) - u^*}\right|,$

Предельной относительной погрешностью называется величина D(u^*)/| u^*|.

Пусть $\left|{t_j - t_j^*}\right| \le \Delta (t_j^* ), j = 1 \div n$ — приближенное значение $u* = u(t_1^*, \ldots ,t_n^* ).$ Предполагаем, что u - непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов. Тогда, по формуле Лагранжа,

$u(t_1, \ldots ,t_n) - u^* = \sum\limits_{j = 1}^n \gamma_j (\alpha )(t_j - t_j^*),$

где $\gamma_j (\alpha ) = u'_{t_j}(t_1^* + \alpha (t_1 - t_1^*), \ldots ,t_n^* + \alpha (t_n - t_n^*)), 0 \le \alpha \le 1.$

Отсюда

$\left|{u(t_1, \ldots ,t_n) - u^*}\right| \le D_1 (u^*) = \sum\limits_{j = 1}^n b_j \Delta (t_j^*),$

где $b_j = \sup\limits_\Omega \left|{u^{\prime}_{t_j}(t_1, \ldots ,t_n)}\right|.$

Можно показать, что при малых $\rho = \sqrt{{(\Delta (t_1^* ))}^2 + \ldots + {(\Delta (t_n^* ))}^2 }$ эта оценка не может быть существенно улучшена. На практике иногда пользуются грубой (линейной) оценкой

$\left|{u(t_1, \ldots ,t_n) - u^*}\right| \le D_2 (u^*), \mbox{ где }D_2 (u^*) = \sum\limits_{j = 1} \left|{\gamma_j (0)}\right| \Delta (t^*).$

Несложно показать, что

a) $\Delta ( \pm t_1^* \pm \ldots \pm t_n^*) = \Delta (t_1^* ) + \ldots + \Delta (t_n^* )$ , предельная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей.

b) Предельная относительная погрешность произведения или частного приближенного равна сумме предельных относительных погрешностей

$\delta (t_1^* \cdots t_m^* \cdot d_1^{* - 1} \cdots d_m^{* - 1} ) = \delta (t_1^* ) + \ldots + \delta (t_m^*) + \delta (d_1^*) + \ldots + \delta (d_n^*).$

Дальше >>

Введение в вычислительную математику

Введение в вычислительную математику

Предмет вычислительной математики. Обусловленность задачи, устойчивость алгоритма, погрешности вычислений. Задача численного дифференцирования

1.4. Погрешность метода

1.5. Элементы теории погрешностей

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в вычислительную математику

Введение в вычислительную математику

Предмет вычислительной математики. Обусловленность задачи, устойчивость алгоритма, погрешности вычислений. Задача численного дифференцирования

1.4. Погрешность метода

1.5. Элементы теории погрешностей

Вопросы и ответы

Студенты