Символьные вычисления

5.3.3. Пределы

Вычислить предел некоторой функции f[var] при стремлении var к заданному значению var0 позволяет функция Limit[f[var],var->var0]. Предел вычисляется только для функций, заданных в явном виде, в противном случае в ячейке Out возвращается исходное выражение — примеры In[1] и In[2] на рис. 5.19.

Предел ряда функций при стремлении var->var0 зависит от направления, вдоль которого осуществляется приближение var к var0. Требуемое направление задаётся опцией Direction->s, где при вычислении предела сверху вместо s следует писать -1, а снизу — 1. Для значения Automatic, используемого по умолчанию, вычисляется предел сверху, кроме случая var->Infinity (примеры In[3] и In[4] на рис. 5.19) [5, с. 40].

При стремлении var к некоторому var0 предельное значение функции f[var] не всегда существует. А.Н. Прокопеня и А.В. Чичурин [5, с. 41] приводят следующий пример: "Функция , например, является быстро осциллирующей при . Поэтому результатом вычисления соответствующего предела является Interval-объект, который только указывает интервал, в пределах которого может находиться вычисляемый предел". Иллюстрирующий это замечание пример In[5] на рис. 5.19 также аналогичен примеру в книге А. Н. Прокопени и А. В. Чичурина [5, с. 41].

Mathematica позволяет представлять на экране выражение для нахождения предела в традиционном для математики виде. Для этого служит функция TraditionalForm. В примере In[6] на рис. 5.19 мы в традиционной форме представили предел, записанный в In[2].

Подробней о функции нахождения предела см. книгу А. Н. Прокопени и А. В. Чичурина [5, с. 40–41].

Рис. 5.19. Вычисление пределов

Ключевые термины

Подстановки — это алгебраические преобразования, в результате выполнения которых какая-либо часть алгебраического выражения заменяется новым выражением.

Рациональным выражением называется дробь, числитель и знаменатель которой — полиномы.

Краткие итоги

В данной лекции мы научились осуществлять преобразования выражений, в том числе рациональных и тригонометрических. В частности мы познакомились с функциями, предназначенными для раскрытия произведений и положительных степеней сумм, упрощения выражений. Мы научились компьютерными методами распознавать среди выражений полиномы, собирать члены полиномов при нужных степенях, находить наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель полиномов. Мы познакомились с одним из наиболее эффективных инструментов осуществления преобразований выражений — подстановками. Мы познакомились со встроенными функциями Mathematica, позволяющими осуществлять операции математического анализа, в том числе находить производные, первообразные, суммы и произведения, раскладывать функции в ряд и находить пределы.

Вопросы

1. Какие преобразования многочленов позволяет выполнять Mathematica? С помощью каких функций?
2. Какое преобразование многочлена Mathematica осуществляет при помощи функции Expand? Factor? FactorTerms? Collect? Simplify?
3. В чём отличие функции Factor от FactorList? FactorTerms от FactorTermsList?
4. Для чего предназначена опция Trig функций Factor и Expand?
5. Каким образом можно проверить, является ли то или иное выражение многочленом для некоторой переменной?
6. Какое действие оказывают функции Expand, Factor, Together, Apart, на рациональные выражения?
7. Какие функции позволяют обращаться только к числителю или только к знаменателю рационального выражения?
8. С помощью какой функции Mathematica позволяет выражать тригонометрические выражения через экспоненты? записывать экспоненты комплексных аргументов через тригонометрические функции?
9. Что такое подстановка в Mathematica? Чем отличается глобальная подстановка от локальной?
10. При помощи каких функций осуществляется подстановка в Mathematica?
11. Назовите функции Mathematica, позволяющие выполнять операции математического анализа.

Упражнения

1. Пользуясь функциями преобразования многочленов, из многочлена получите следующие выражения:

   

   

   

   

   При помощи функции Length определите количество элементов в каждом полученном выражении. Какой заголовок находится на верхнем уровне полной формы каждого из полученных выражений?
2. Дано исходное выражение . Пользуясь функциями преобразования многочленов и рациональных выражений,
   • представьте исходное выражение в виде суммы дробей с одинаковым знаменателем;
   • разложите на множители числитель и знаменатель исходного выражения;
   • разложите исходное выражение на сумму простых дробей;
   • найдите наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель числителя и знаменателя исходного выражения.
3. Пользуясь локальной подстановкой, в выражении символ замените символом , а символ — выражением .
4. Пользуясь подстановками и , преобразуйте исходное выражение к выражению, не содержащему иных символов, кроме .
5. Разложите выражение в степенной ряд по степеням возле точки до члена c , найдите производную полученного выражения по .
6. Пользуясь полученными в данной и предыдущих лекциях навыками, следуя указанным комментариям, решите заданные ниже уравнения. Проверьте правильность полученных корней, подставив их в исходные уравнения.
   • )квадратное уравнение .

     Для решения сначала вычислите дискриминант по формуле , затем найдите корни уравнения по формулам и . Корни уравнения могут быть комплексными.
   • квадратное уравнение .

     Решите двумя способами.

     Первый способ — аналогично предыдущему пункту.

     Второй способ: при помощи функций Mathematica преобразования многочленов разложите выражение в левой части уравнения на множители.
   • возвратное кубическое уравнение .

     Для решения при помощи функций Mathematica преобразования многочленов разложите выражение в левой части уравнения на множители.
   • биквадратное уравнение .

     Для решения при помощи локальной подстановки замените символом , затем известным способом решите квадратное уравнение относительно .
   • дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными .

     Для решения перенесите дифференциал в правую часть, средствами Mathematica проинтегрируйте обе части по соответствующим переменным.
   • линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами .

     Для решения сначала найдите корни характеристического уравнения, полученного заменой выражения символом , а выражения символом . Полученные корни подставьте в общее решение уравнения .
7. найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной
   • графиком функции , осью , прямыми и ;
   • графиком функции , осью и прямой ;
   • графиком функции и осью .
   • найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций и , прямыми и .
8. Найдите пределы следующих выражений:

   при

   при

   при

   при x->\infty

   при x->\infty

   при