НОУ ИНТУИТ | Введение в алгебру. Лекция 1: Основные алгебраические структуры и операции

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.09.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Характеризация инъективных, сюръективных и биективных отображений (в терминах произведений отображений)

Теорема 1.8.1.

Пусть $f: U\to V$ - отображение непустых множеств. Тогда:

f - инъективное отображение тогда и только тогда, когда существует отображение $g: V\to U$ такое, что gf=1_U (т. е. существует левый обратный элемент для отображения f ),
f - сюръективное отображение тогда и только тогда, когда существует отображение $g: V\to U$ такое, что fg=1_V (т. е. существует правый обратный элемент для отображения f ),
f - биективное отображение тогда и только тогда, когда существует отображение $g: V\to U$ такое, что gf=1_U и fg=1_V (т. е. существует левый и правый обратные для отображения f ).

Доказательство.

1а) Пусть $f: U\to V$ - инъективное отображение. Построим отображение $g: V\to U$ следующим образом. Если $v\in \text{Im} f\subseteq V$ и v=f(u), $u\in U$ , то этот элемент u определен единственным образом (в силу инъективности отображения f ). В этом случае положим g(v)=u. Для всех элементов $v\in V\setminus \text{Im} f$ положим $g(v)=u_0\in U$ , где u₀ - некоторый фиксированный элемент в U. Тогда для всякого элемента $u\in U$ имеем (gf)(u)=g(f(u))=u=1_U(u), т. е. gf=1_U.

1б) Если существует отображение $g: V\to U$ такое, что gf=1_U, и f(u₁)=f(u₂) для $u_1,u_2\in U$ , то u₁=1_U(u₁)=(gf)(u₁)=g(f(u₁))=g(f(u₂))=(gf)(u₂)=1_U(u₂)=u₂. Итак, f - инъективное отображение.

2а) Пусть $f: U\to V$ - сюръективное отображение. Для каждого элемента $v\in V$ множество $\{u\in U\mid f(u)=v\}$ не является пустым. Выберем в нем один элемент u_v (для интересующихся аксиоматикой теории множеств: это можно сделать в силу аксиомы выбора). Определим отображение $g: V\to U$ , полагая g(v)=u_v. Тогда (fg)(v)=f(g(v))=f(u_v)=v=1_V(v). Таким образом, fg=1_V.

2б) Если fg=1_V для некоторого отображения $g: V\to U$ , то для всякого $v\in V$ имеем v=1_V(v)=(fg)(v)=f(g(v)), т. е. v=f(u) для u=g(v), следовательно, $f: U\to V$ - сюръективное отображение.

3а) Если $f: U\to V$ - биекция, то для всякого элемента $v\in V$ существует, и единственный, элемент $u\in U$ такой, что v=f(u). В этом случае положим g(v)=u. Получим отображение $g: V\to U$ , для которого: (gf)(u)=g(f(u))=u для всякого $u\in U$ , т. е. gf=1_U ; (fg)(v)=f(g(v))=f(g(f(u)))=f(u)=v для всякого $v\in V$ , т. е. fg=1_V.

Замечание 1.8.2. Можно было воспользоваться уже доказанными утверждениями 1а), 2а): из инъективности отображения $f: U\to V$ следует существование отображения $g: V\to U$ , для которого gf=1_U ; из сюръективности отображения $f: U\to V$ следует существование отображения $g': V\to U$ , для которого fg'=1_V ; но тогда g'=1_Ug'=(gf)g'=g(fg')=g1_V=g; таким образом, gf=1_U, fg=1_V.

3б) Если существует отображение $g: V\to U$ , для которого gf=1_U и fg=1_V, то в силу 1б), f - инъекция, а в силу 2б), f - сюръекция, т. е. f - биекция.

Замечание 1.8.3. Отображение g, для которого gf=1_U, fg =1_V, как мы показали, определено однозначно. Оно будет обозначаться $g=f^{-1}$ .

Лемма 1.8.4. Пусть $U\xrightarrow{f} V \xrightarrow{g} W$ .

Если f, g - инъекции, то gf - инъекция.
Если f, g - сюръекции, то gf - сюръекция.
Если f, g - биекции, то gf - биекция.
Если f - биекция, то отображение $g=f^{-1}$ - биекция.

Доказательство.

Если $u_1,u_2\in U$ , $u_1\ne u_2$ , то $f(u_1)\ne f(u_2)$ , и $(gf)(u_1)=g(f(u_1))\ne g(f(u_2))=(gf)(u_2)$ , т. е. gf - инъекция.
Если $w\in W$ , то w=g(v) для некоторого $v\in V$ ; далее, v=f(u) для некоторого $u\in U$ ; поэтому w=g(f(u))=(gf)(u), т. е. отображение gf является сюръекцией.
следует из 1) и 2).
Так как gf=1_U, fg=1_V, то $f=g^{-1}$ , и поэтому $g=f^{-1}$ является биекцией.