Разновидности экспериментов с билинейными автоматами
Здесь матрицы со звездочкой имеют следующую блочную структуру:
![A*=
\left [
\begin {matrix}
A_0&A_1& \dots & A_h\\
E_n& 0_n & \dots &0_n\\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
0_n & \dots & E_n & 0_n
\end {matrix}
\right ]](/sites/default/files/tex_cache/06cd17f1b057239c54b8cee8b465fc8f.png)
где в роли блоков выступают матрицы размерности , а число блочных строк и столбцов равно
;
![F_i*=
\left [
\begin {matrix}
F_i^{(0)}& F_i^{(1)}& \dots & F_i^{(h)}\\
0_n& 0_n& \dots & 0_n\\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
0_n& 0_n& \dots & 0_n
\end {matrix}
\right ]](/sites/default/files/tex_cache/d6eaf1e53e39129c8584733926b4dfdf.png)
где в роли блоков выступают матрицы размерности , а число блочных строк и столбцов равно
;
![B*=
\left [
\begin {matrix}
B\\
[0]\\
\dots \\
[0]
\end {matrix}
\right ]](/sites/default/files/tex_cache/223be32c51e4c5bf54498c90603f7adc.png)
где в роли блоков выступают матрицы размерности , а число блочных строк равно
;
![C*=[C_0 C_1 \dots C_h]](/sites/default/files/tex_cache/965944792570558a8d5947270b9984cf.png)
где в роли блоков выступают матрицы размерности , а число блочных столбцов равно
;

где в роли блоков выступают матрицы размерности , а число блочных столбцов равно
;

В справедливости (22.6) и (22.7) можно убедиться, выполнив непосредственную подстановку. Поскольку соответствующие выкладки являются громоздкими, но не представляют принципиальной сложности, здесь они не приводятся.
Рассмотрим билинейный автомат с распределенным запаздыванием по управлению.
Пусть входным вектором в момент времени является
. Тогда размерность
равна
.
Тогда билинейный автомат с распределенным запаздыванием по управлению можно описать следующим образом:
![]() |
( 22.8) |
![]() |
( 22.9) |
Здесь
равны соответственно
- вектор блочной структуры, где в роли блоков выступают матрицы размерности
, а число блочных столбцов равно
равны соответственно
- вектор блочной структуры, где в роли блоков выступают матрицы размерности
, а число блочных столбцов равно
.
В справедливости (22.8) и (22.9) можно убедиться, выполнив непосредственную подстановку.
В результате предложенных выше преобразований исходный билинейный автомат с распределенным запаздыванием по состоянию (по управлению) сведен к билинейному автомату без запаздывания, вектор состояния (входной вектор) которого имеет большую размерность, чем исходный автомат. Последнее означает, что с точки зрения функционального поведения оба эти автомата являются эквивалентными.
Приведенные ниже теоремы являются аналогами доказанных выше теорем 12.1, 12.4, 12.5 и т. д.
Теорема 22.5. Для того чтобы входная последовательность была синхронизирующей для билинейного автомата
с распределенным запаздыванием по состоянию, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
![\Pi_{\nu =0}^t
\left [
\begin {matrix}
A_0+\sum_{i=1}^lF_i^{(0)}u_i(t- \nu)& A_1+\sum_{i=1}^lF_i^{(1)}u_i(t- \nu) & \dots & A_h+\sum_{i=1}^lF_i^{(h)}u_i(t- \nu)\\
E_n& 0_n& \dots & 0_n\\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
0_n& \dots & E_n& 0_n
\end {matrix}
\right ] =[0]](/sites/default/files/tex_cache/3b7b0734214b1cadbe8cfcd0c8a88f85.png)
Теорема 22.6. Для того чтобы входная последовательность была синхронизирующей для билинейного автомата
с распределенным запаздыванием по управлению, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
![\Pi_{\nu =0}^{t}[A+\sum_{k=0}^h \sum_{i=1}^l F_i^{(k)} u_i(t-\nu)]=[0]](/sites/default/files/tex_cache/55a8471961001cbda12daf1ba660bcf9.png)
Теорема 22.7. Для того чтобы входная последовательность была установочной для билинейного автомата
с распределенным запаздыванием по состоянию, необходимо и достаточно, чтобы для каждого ненулевого состояния
выполнялось по крайней мере одно из условий:
Здесь знак означает дизъюнкцию выражений, стоящих за этим знаком и получаемых при изменении индекса от 0 до
.
Если при вычислениях индекс у меньше нуля при некоторых
и
(условие 1), то выражение
положим равным единичной матрице.
Теорема 22.8. Для того чтобы входная последовательность была установочной для билинейного автомата
с распределенным запаздыванием по управлению, необходимо и достаточно, чтобы для каждого ненулевого состояния
выполнялось по крайней мере одно из условий:
-
.
Здесь знак означает дизъюнкцию выражений, стоящих за этим знаком и получаемых при изменении индекса от 0 до
.
Если при вычислениях индекс у меньше нуля при некоторых
и
(условие 1), то выражение
положим равным единичной матрице.
Теорема 22.9. Для того чтобы входная последовательность была диагностической для билинейного автомата
с распределенным запаздыванием по состоянию, необходимо и достаточно, чтобы
![rank
\left [
\begin {matrix}
\left [C_0+\sum_{i=1}lG_i^{(0)} \dots C_h+\sum_{i=1}^lG_i^{(h)}u_i(0) \right ]\\
\left [C_0+\sum_{i=1}^lG_i^{(0)}u_i(1) \dots C_h+\sum_{i=1}^lG_i^{(h)}u_i(1) \right ] \lefy (A*+\sum_{i=1}^lF_i*u_i(0) \right )\\
\left [ C_0+\sum_{i=1}^lG_i(0)u_i(t) \dots C_h+\sum_{i=1}^lG_i^{(h)}u_i(t) \right ] \Pi_{\nu =0}^{t} \left [A*+\sum_{i=1}^lF_i*u_i(t-\nu -1) \right ]
\end {matrix}
\right ]=(h+1)n](/sites/default/files/tex_cache/c4252d5965edd94068997a833622519c.png)
Здесь матрицы со звездочкой имеют следующую блочную структуру:
![A*=
\left [
\begin {matrix}
A_0& A_1& \dots &A_h\\
E_n& 0_n& \dots 0_n\\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
0_n& \dots E_n& 0_n
\end {matrix}
\right ]](/sites/default/files/tex_cache/c9d19751223c8876bd04ea02706b0aae.png)
где в роли блоков выступают матрицы размерности , а число блочных строк и столбцов равно
;
![F_i*=
\left [
\begin {matrix}
F_I^{(0)}& F_i^{(1)} & \dots F_i^{(h)}\\
0_n& 0_n& \dots 0_n\\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
0_n& 0_n& \dots 0_n
\end {matrix}
\right ]](/sites/default/files/tex_cache/df57865760414c79b6c6f137ccf122e8.png)
где в роли блоков выступают матрицы размерности , а число блочных строк и столбцов равно
.
Теорема 22.10. Для того чтобы входная последовательность была диагностической для билинейного автомата
с распределенным запаздыванием по управлению, необходимо и достаточно, чтобы
![rank
\left [
\begin {matrix}
C+\sum_{k=0}^h \sum_{i=0}^lG_i^{(k)}u_i(0)\\
\left (C+\sum_{k=0}^h \sum_{i=0}^lG_i^{(k)}u_i(1) \right ) \left (A+\sum_{k=0}^h \sum_{i=0}^lF_i^{(k)}u_i(0) \right )\\
\left (C+\sum_{k=0}^h \sum_{i=0}^lG_i^{(k)}u_i(t) \right ) \Pi_{\nu = 0}^t \left [A+\sum_{k=0}^h \sum_{i=0}^lF_i^{(k)}u_i(t-\nu -1) \right ]
\end {matrix}
\right ]=n](/sites/default/files/tex_cache/2878b41f2341e94b796167cd03517ca0.png)
Вопросы и упражнения
- Дайте определение билинейного автомата без потери информации из некоторого состояния.
- Дайте определение билинейного автомата без потери информации.
- Сформулируйте условие принадлежности автомата классу билинейных автоматов БПИ.
- Приведите определения билинейных автоматов с распределенным запаздыванием и просто с запаздыванием по состоянию и управлению.
- Покажите, что билинейный автомат с распределенным запаздыванием всегда можно преобразовать в билинейный автомат без запаздывания.
- Приведите критерии существования синхронизирующей, установочной и диагностической последовательностей для билинейных автоматов с распределенным запаздыванием.