Введение в дизайн механизмов

Дизайн механизмов: определения

В этом параграфе мы кратко напомним основные понятия теории игр из прошлой лекции, но приложим их к ситуации дизайна механизмов. Рассмотрим сначала постановку задачи. Что бы мы ни говорили о дизайне, после того самого дизайна начинается собственно игра. В игре участвуют агенты. У игры есть различные исходы. А у каждого агента в этой игре есть некий набор действий, которые он может предпринимать.

Поставим задачу чуть формальнее. Во-первых, введем тип агента для -го агента (об этом ниже). У игры есть набор исходов , и для каждого агента каждый исход означает какую-то прибыль (возможно, отрицательную). Так появляется функция полезности (utility function)

для типа и исхода . Агент предпочитает исход исходу , если .

Стратегия агента — это план, который полностью описывает его поведение во всех возможных состояниях окружающего мира. Через мы будем обозначать множество стратегий агента , через — какую-нибудь конкретную его стратегию. Стратегии бывают чистые и смешанные; чистые стратегии жестко задают поведение в каждом состоянии окружающего мира, смешанные задают распределения вероятностей на множестве возможных действий агента.

Например, в аукционе возрастающей цены состояние мира для агента полностью описывается парой , где — текущая цена, а бит показывает, является ли агент в текущий момент лидером аукциона. Пусть у агента есть своя (скрытая) оценка лота , и он готов заплатить любую сумму, которая была бы меньше (получив при этом для себя выгоду, равную разности между и заплаченной суммой). Тогда так называемая стратегия лучшего ответа (best response strategy) описывается следующим образом:

Здесь (от слова bid) — это ставка, которую должен сделать агент. Понятно, что функцию полезности можно с конкретных исходов продолжить на целые стратегии. Если агентов имеют фиксированные стратегии , то функция полезности

будет просто равна функции полезности на исходе , который однозначно задается этими стратегиями.

Рассмотрим тот же аукцион, в котором участвуют два агента и оба исповедуют стратегию лучшего ответа. Для агента ценность лота , для агента она равна . Тогда функция полезности для первого агента будет равна

где — минимальное увеличение цены в аукционе.

Каждый агент пытается максимизировать свою собственную прибыль. Он решает задачу оптимизации, добиваясь оптимальной стратегии, и в результате система оказывается в каком-нибудь состоянии. Мы будем рассматривать возможные определения равновесного состояния системы, к которому она может прийти после решения каждым агентом своей локальной задачи.

Обозначим через

профиль всех стратегий участников. Как и прежде, через

мы будем обозначать стратегии всех участников, кроме . Введем также аналогичные обозначения и для типов агентов.

Ключевое понятие всей теории игр — равновесие Нэша — мы подробно обсуждали на прошлой лекции. Напомним определение в контексте обозначений теории экономических механизмов.

Определение 2.1. Профиль стратегий находится в равновесии Нэша, если каждый агент при данных стратегиях других агентов выбирает для себя оптимальную стратегию:

В дилемме заключенного только профиль находится в равновесии Нэша — каждому из преступников всегда выгоднее сознаться, чем промолчать. Бывают игры с несколькими равновесиями Нэша.

Пример 2.1. Приведем пример игры, в которой существуют два равновесия Нэша. Рассмотрим двух игроков, возможные действия каждого из которых — опубликовать один бит. При этом, если биты совпадают, игроки получают по $100, а если не совпадают — платят по $100. Матрица игры выглядит так (доходы игроков совпадают, поэтому мы пишем не пару, а одно значение):

Очевидно, у этой игры два равновесия Нэша: и . В каждом из этих состояний ни одному из игроков не выгодно отклоняться от выбранной стратегии.

Конец примера 2.1.

Равновесие Нэша — фундаментальное понятие, но оно не всегда применимо. Например, оно много чего предполагает о доступной агентам информации. Нужно, чтобы каждый агент знал структуру игры полностью, знал, что другие знают, знал, что все действуют рационально, и, более того, знал, что все выберут одно и то же равновесие Нэша (а их может быть несколько).

На деле агент может и не быть уверен, что все остальные все знают и непременно выберут равновесие Нэша (вообще, редко кто уверен в абсолютной рациональности всех остальных). Но если у агента есть доминантная стратегия, ему все равно.

Определение 2.2. Стратегия называется доминантной, если она (слабо) максимизирует ожидаемую прибыль агента для всех возможных стратегий других агентов:

Получается, что в случае, когда у агента есть доминантная стратегия, ему можно вообще ни о чем не беспокоиться: он в любом случае окажется не в проигрыше.

Сейчас мы рассмотрим первый пример нетривиального дизайна механизмов — аукцион Викри (Vickrey auction). Это аукцион, проводящийся по схеме закрытых ставок (sealed-bid): участники подают свои заявки в конвертах, потом их вскрывают, и объект продается тому, кто предложил самую высокую цену. Например, так обычно проводят тендеры.

Что выгодно делать участнику со скрытой ценностью , если ему продадут вещь по той цене, которую он запросит? Это довольно сложная задача: если его скрытая ценность максимальна из всех участников, ему нужно сделать заявку больше, чем у следующего за ним, но желательно только чуть-чуть больше, чтобы максимизировать свою прибыль. Участник, конечно, может решить эту задачу — но ему потребуется масса всяческих предположений, равновесие получится только в ожидании (то есть по Байесу-Нэшу), а не в любом случае (не в доминантных стратегиях), и вообще система будет весьма нестабильной. В результате на самом деле никому не лучше — и продавец не максимизирует доход, и всеобщее благосостояние тоже страдает. Мы потом проанализируем этот случай более подробно.

Давайте слегка видоизменим аукцион. В новом аукционе (который и называется аукционом Викри) по-прежнему продают тому, кто больше предложил... но продают по цене, которую предложил второй сверху участник! Оказывается, что в таком аукционе участникам выгодно просто говорить правду о своей скрытой ценности, причем это "выгодно" — самое сильное из возможных.

Теорема 2.1. В аукционе Викри правдивая стратегия является доминантной.

Доказательство. Ожидаемая полезность стратегии равна

где — это наивысшая ставка среди всех остальных агентов. Какие тут могут быть варианты?

1. Если , то оптимальна любая ставка , ведь вещь все равно продадут по цене .
2. Если , то, опять же, оптимальна любая ставка (все равно не продадут или продадут с нулевой прибылью).

Ставка подходит для обоих случаев и поэтому является доминантной стратегией. В любом из двух возможных случаев сделать правдивую ставку не хуже, чем любую другую.

Мы только что буквально на пальцах доказали, что в аукционах Викри каждому участнику выгодно сообщать в качестве ставки свою истинную скрытую стоимость. Это очень важное свойство механизмов — правдивость (truthfulness). Позже (в лекции "Принцип выявления предпочтений" ) мы увидим, что на самом деле можно ограничиться только правдивыми механизмами.

Оказывается, что доминантные стратегии гораздо удобнее для агентов: им уже не надо ничего предполагать о других агентах, они могут смело пользоваться доминантной стратегией. Поэтому в дизайне механизмов гораздо приятнее получить механизм с доминантными стратегиями у каждого агента, чем механизм с "обычным" равновесием Нэша.

Но давайте еще раз вернемся к типам агентов; теперь мы предположим, что агент не знает наверняка, каковы типы других агентов, то есть каковы у них функции полезности. Но при этом он знает выплаты для каждого возможного типа, и у него есть некоторое априорное распределение на типах для каждого из других агентов. И, конечно, он пытается максимизировать математическое ожидание своей прибыли в равновесии с такими же оптимизирующими стратегиями других агентов.

Определение 2.3. Профиль стратегий находится в равновесии по Байесу-Нэшу (Bayesian-Nash equilibrium), если каждый агент при известном ему распределении на типах других агентов выбирает для себя оптимальную стратегию:

Проще говоря, стратегия агента оптимальна по распределению типов других агентов. В одном конкретном эксперименте вполне возможно, что он будет выбирать неоптимальное поведение, но в среднем при достаточно долгой игре агенту лучше всего выбирать именно эту стратегию.

Равновесие по Байесу-Нэшу обобщает обычное — оно делает более естественные предположения о знаниях агентов. Для каждого фиксированного типа оно тоже должно быть оптимальным:

Но у него есть другие недостатки равновесия Нэша: например, оно в общем случае не единственно. Поэтому хотя равновесие по Байесу-Нэшу получить лучше, чем обычное равновесие Нэша, доминантные стратегии все равно остаются идеальным вариантом.

В итоге мы ввели и рассмотрели три типа равновесий, которые могут возникнуть в наших механизмах. Получается вот такая картинка:

Перейдем теперь собственно к дизайну.