Теория игр

Совместные смешанные стратегии

Мы уже говорили о том, что в игре может быть несколько равновесий Нэша. Давайте приведем конкретный пример; пример не только проиллюстрирует этот факт, но и вдобавок поднимет важную проблему, которую мы попытаемся решить в этом параграфе.

Пример 1.9. Этот классический пример называется "Семейный спор" (по-английски звучит более внушительно: "Battle of the sexes"). Рассмотрим семью (пока что из двух человек), которая пытается решить, куда пойти вечером. Муж, разумеется, хочет идти на футбол, в то время как жена пытается вытащить мужа в театр. Но, несмотря на этот конфликт интересов, за семью можно быть спокойным: и муж, и жена хотят провести вечер вместе, и ни футбол, ни театр будут не в радость, если пойти туда одному. Осталось только сделать предположение (пожалуй, самое противоестественное), что муж и жена не обсуждают друг с другом свои решения, а просто сами по себе идут или на футбол, или в театр. У игры получается следующая матрица (строки выбирает муж, столбцы — жена; в векторе результатов первый компонент принадлежит мужу, второй — жене).

Как нетрудно заметить, у этой игры два равновесия Нэша:

Ни мужу, ни жене невыгодно отклоняться от одного из этих равновесий. Но вот первая беда: любое из них нечестное — если постоянно выбирать одну и ту же стратегию (а стимулов отклоняться-то нет), один супруг будет получать значительно большую выгоду, чем другой.

Можно попробовать решить эту игру в смешанных стратегиях. Сыграем за мужа: найдем для данной вероятности того, что жена пойдет на футбол, оптимальную вероятность пойти на футбол самому:

Поскольку для жены ситуация абсолютно симметрична, понятно, что в точке , (каждый выбирает свой любимый способ провести вечер с вероятностью ) достигается равновесие в смешанных стратегиях, ведь ожидаемая выгода каждого участника не зависит от его стратегии. В итоге ожидаемая выгода и мужа, и жены оказывается равной . Вот и вторая беда: использовать смешанные стратегии хуже, чем просто согласиться на "неподходящий" вариант: там выгода будет равна , а тут всего .

Конец примера 1.9.

На первый взгляд кажется, что делать нечего: придется кому-то поступиться своим интересом. Решение приходит в виде нового понятия равновесия, которое позволяет участникам использовать внешнюю информацию.

Определение 1.7. Совместная смешанная стратегия игроков — это распределение вероятностей на всем множестве возможных чистых стратегий всех игроков .

То есть, грубо говоря, муж и жена заранее договариваются: кто-то (возможно, кто-то третий — важно, что ни один участник не контролирует этот результат, но оба имеют к нему доступ) вечером подбросит монетку, и если выпадет орел, то они вместе пойдут в театр, а если решка — на футбол. В такой ситуации исход получается оптимальным: и точку выбирать никогда не придется, и равновесие честное, ведь у каждого участника ожидаемая выгода равна .

Определение 1.8. Равновесие в совместных смешанных стратегиях — это такое распределение вероятностей на множестве чистых стратегий , что для всех и любой пары векторов

или, что то же самое,

То есть некое внешнее устройство выбирает стратегию случайным образом по распределению , и оказывается так, что для каждого из игроков в получившемся векторе невыгодно отклоняться от своей стратегии. В примере с семейным спором все выходит именно так: монетка определяет стратегию и мужа, и жены, но при этом выбор делается между двумя равновесиями Нэша, то есть любой случайно выбранный вектор получится равновесным. Совместные смешанные стратегии — это способ перейти от одного равновесия Нэша к линейной комбинации нескольких равновесий, если эта комбинация оказывается более выгодна агентам.

Равновесия по Байесу-Нэшу

До сих пор мы рассматривали исключительно игры, в которых все агенты знали все на свете. Каждый агент знал функции выплаты других агентов, знал множества стратегий других игроков . Более того, каждый агент знал, что каждый другой агент это знает, и что каждый другой агент знает, что он знает, что... в общем, понятно.

Однако на самом деле это условие довольно часто не выполняется. А если агент не знает, к примеру, какие выплаты у других агентов, то говорить о равновесии Нэша становится бессмысленным. Что же делать?

Пример 1.10. В качестве примера рассмотрим вариант все того же "семейного спора", который на этот раз для мужа гораздо печальнее. Предположим, что муж не уверен, хочет ли жена провести с ним вечер или, наоборот, в этот раз от него отдохнуть. Если жена ищет встречи, то матрица игры будет как в примере 1.9:

А если встречаться не хочет, то матрица становится другой:

Пусть муж ничего не знает о желаниях жены, и для него вероятности этих исходов равны 50%. Таким образом, с точки зрения мужа, у жены есть два возможных типа; или, что то же самое, есть два возможных равновероятных состояния мира, и только жена знает истинное состояние (этакая, простите за выражение, "жена Шредингера").

Если в такой ситуации муж решит пойти на футбол, то (в предположении о 50%) ему невыгодно будет менять свое предпочтение, ведь в случае футбола выгода получается , а в случае театра лишь . А для жены, очевидно, в такой ситуации выгодным будет идти на футбол, если она хочет встретить мужа, и идти в театр, если не хочет. Таким образом, профиль стратегий будет находиться в равновесии Нэша.

Конец примера 1.10.

Более общая формулировка будет изрядно напоминать равновесие в совместных смешанных стратегиях. Но теперь придется немного дополнить модель самой игры. Определение 1.9 отличается от определения 1.1 только множествами типов .

Определение 1.9. Стратегическая игра с неполной информацией — это четверка

где обозначения расшифровываются следующим образом:

1. — конечное множество игроков.
2. — множество доступных игрокам действий.

3. — множество типов игроков; для типов мы будем применять ту же нотацию, например

   

   Через будем обозначать множество векторов типов: . Каждому игроку известен его собственный тип и общее распределение , из которого берутся типы всех остальных; в частности, игрок знает

   .
4. — множество функций выплат . Функции выплат теперь зависят не только от стратегий, но и от типов.

В играх с неполной информацией игроки не знают типов других игроков, но знают распределение. Таким образом, легко определить новое понятие равновесия, которое теперь будет действовать только в ожидании.

Определение 1.10. Равновесие по Байесу-Нэшу для стратегической игры с неполной информацией — это такой профиль стратегий , что для всякого агента и всякого его типа выполняется следующее условие:

Очевидно (проверьте!), что любое равновесие в доминантных стратегиях является равновесием по Байесу-Нэшу.

Кроме уже описанных, нам в теории экономических механизмов потребуется и еще одно понятие равновесия, промежуточное между равновесием по Байесу-Нэшу и равновесием в доминантных стратегиях.

Определение 1.11. Равновесие ex post для стратегической игры с неполной информацией — это равновесие по Байесу-Нэшу , в котором дополнительно выполняется следующее условие: для всех , всех и всех

Проще говоря, даже если агенту рассказать о том, какие типы были у всех остальных игроков, ему все равно не будет резона менять свое решение. Поэтому агенту гарантированно "не о чем жалеть" в результате игры: даже если он узнает то, чего не знал раньше, все равно для него останется оптимальной стратегией. Мы еще не раз встретимся с понятием ex post и другими моментами времени в течение игры в контексте аукционов; подробно эти понятия мы объясним в "Введение в дизайн механизмов" .