Анализ игр

11.2. Цена игры

Анализируя игры в предыдущем разделе, мы использовали следующие (очевидные) правила:

1. Если из некоторой позиции можно пойти (по стрелкам) в некоторую проигрышную (для попавшего в нее игрока) позицию, то позиция является выигрышной (для попавшего в нее).
2. Если из некоторой позиции можно пойти только в выигрышные позиции, то позиция является проигрышной.

11.2.1. Доказать, что если число позиций в игре конечно, нет циклов (нельзя вернуться в однажды пройденную позицию) и про все заключительные позиции (где нельзя сделать хода) известно, кто выигрывает, то правила 1 и 2 однозначно разбивают все позиции на выигрышные и проигрышные.

Решение. Будем применять эти правила, пока это возможно. Ясно, что никакая позиция не будет объявлена одновременно выигрышной и проигрышной (для попавшего в нее). Надо лишь доказать, что не останется "сомнительных" позиций (не отнесенных ни к выигрышным, ни к проигрышным). Заметим, что из каждой сомнительной позиции ведет стрелка хотя бы в одну сомнительную позицию. (В самом деле, если все стрелки ведут в несомненные позиции, то либо все они выигрышные, либо есть хоть одна проигрышная, и можно было бы воспользоваться одним из двух правил.) Значит, идя по стрелкам в сомнительные позиции, мы рано или поздно получим цикл, что противоречит предположению.

11.2.2. Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для игр, допускающих ничьи.

Игры с ничейным исходом являются частными случаями конечных игр с полной информацией и нулевой суммой, рассматриваемых в теории игр. Чтобы задать такую игру, необходимо:

1. указать конечное множество, элементы которого называются позициями;
2. для каждой позиции указать, является ли она заключительной (игра закончена) или нет;
3. для каждой заключительной позиции указать результат игры (число); это число понимается как сумма денег, которую один игрок платит другому;
4. для каждой незаключительной позиции указать, кто из игроков должен делать ход в этой позиции и какие разрешены ходы (в какие позиции этот игрок может перейти);
5. указать начальную позицию игры.

При этом требуется, чтобы не было циклов (нельзя было вернуться в уже пройденную позицию после нескольких ходов).

Позиции игры удобно рассматривать как вершины графа и изображать точками; возможные ходы при этом становятся ребрами графа и изображаются стрелками. Игру можно рассматривать как передвижение фишки, обозначающей текущую позицию игры, по этому графу. В каждой вершине написано, кто должен делать ход (если игра не кончилась) или кто и сколько выиграл (если игра кончилась). Одна из вершин указана как начальная позиция.

Будем называть игроков Макс и Мин и считать, что результат игры определяет, сколько Мин платит Максу. (Мотивировка: Макс хочет, чтобы это число было максимальным, а Мин - минимальным - а лучше всего отрицательным, поскольку тогда он получает деньги!) Кто из игроков делает первый ход, определяется начальной позицией. Заметим, что мы теперь не предполагаем, что игроки ходят по очереди: один и тот же игрок может делать несколько ходов подряд.

(Тем самым, например, в игре со спичками каждый кружок на рисунке 11.1 теперь превращается в две позиции: с ходом Макса и с ходом Мина.)

Игра, в которой один из игроков выигрывает, а другой проигрывает, соответствует значениям в заключительных вершинах ( означает выигрыш Макса, означает выигрыш Мина). Игры с ничейными исходами получатся, если приписать число ничейным позициям.

Определим теперь понятие стратегии. Стратегия для Макса (или Мина) определяет, как он должен ходить в каждой из позиций (где ход за ним); формально это функция , определенная на множестве позиций, где ход за ним. Значениями этой функции являются позиции, при этом ходы должны быть допустимыми, то есть из в должна вести стрелка.

Стратегии такого типа называют в теории игр позиционными, подчеркивая, что выбор хода зависит лишь от текущей позиции, но не от истории игры (как мы в эту позицию попали). (Другие стратегии нам не понадобятся, так что слово "позиционная" мы будем опускать.)

Если фиксировать стратегии для Макса и Мина, то исход игры предопределен: эти стратегии однозначно определяют последовательность позиций ("партию") и результат игры.

11.2.3. Доказать, что для любой игры можно найти число и стратегии и для Макса и Мина, при которых:

(1) Макс, пользуясь стратегией , гарантирует себе выигрыш не менее , как бы ни играл Мин;

(2) Мин, пользуясь стратегией , гарантирует себе проигрыш не более , как бы ни играл Макс.

Число называют ценой игры . Заметим, что цена игры определяется однозначно: из условий (1) и (2) следует, что у Макса нет стратегии, гарантирующей ему выигрыш больше (поскольку она не может это сделать против стратегии ), а у Мина нет стратегии, гарантирующей ему проигрыш меньше .

Для игр с двумя исходами утверждение задачи (называемое теоремой Цермело означает, что ровно у одного из игроков имеется выигрышная стратегия. Если разрешить и ничьи, то либо у одного из игроков есть выигрышная стратегия, либо у обоих есть стратегия, гарантирующая ничью.

Решение. Пусть - произвольная позиция игры . Рассмотрим игру , которая отличается от лишь начальной позицией, и эта начальная позиция есть . (Если - заключительная вершина, то игра тривиальна: игра кончается, не начавшись, и игрокам сообщается результат игры.) Как мы сейчас увидим, цену игры (как функцию от ) можно определить рекурсивно, начиная с заключительных позиций.

Более точно, рассмотрим следующее рекурсивное определение некоторой функции , определенной на вершинах графа:

• равно выигрышу Макса (=проигрышу Мина) в позиции , если позиция является заключительной;
• , если в вершине ходит Макс; максимум берется по всем вершинам , в которые Макс может пойти из по правилам игры;
• , если в вершине ходит Мин; минимум берется по всем вершинам , в которые Мин может пойти из по правилам игры.

Лемма. Это определение корректно: существует и единственна функция (аргументы - вершины графа, значения - числа), удовлетворяющая указанным требованиям.

Доказательство леммы. Назовем рангом вершины максимальное число ходов, которое можно сделать из этой вершины. Поскольку по предположению в игре нет циклов, то ранг любой вершины не больше числа вершин. Докажем индукцией по , что существует и единственна функция , определенная на вершинах ранга не больше и удовлетворяющая рекурсивному определению. Для это очевидно. Шаг индукции использует такое (очевидное) замечание: если из вершины можно сделать ход в вершину , то ранг вершины меньше ранга вершины . Поэтому рекурсивное определение однозначно задает значения на вершинах ранга , если известны значения на вершинах меньших рангов. Лемма доказана.

Осталось доказать, что значение является ценой игры . Рассмотрим следующую (позиционную) стратегию для Макса: из вершины ходить в ту вершину , для которой значение максимально (и равно ). Если Макс следует этой стратегии, то независимо от ходов Мина значение для текущей вершины не убывает в ходе игры (при ходах Мина оно убывать вообще не может, при ходах Макса оно не убывает по построению стратегии). Тем самым в вершине Максу гарантирован выигрыш не меньше . Аналогичным образом, если Мин ходит в ту вершину , где достигается минимум (равный ), то значение не возрастает в ходе игры и потому Мин проигрывает не более .

Теорема Цермело доказана.