НОУ ИНТУИТ | Введение в алгебру. Лекция 5: Поле C комплексных чисел

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5321 / 591 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00

ISBN: 978-5-9556-0038-3

Тема: Математика

Специальности: Математик

Теги: beta, алгебра, алгоритмы, гомоморфизм групп, гомоморфизм группоидов, группоид, изоморфизм группоидов, инъекция, коэффициентами системы, моноид, полугруппа, расширенная матрица, старший коэффициент, элементы

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Тригонометрическая форма ненулевого комплексного числа

Используя полярные координаты, модуль $r=\sqrt{a^2+b^2}$ и аргумент $\varphi=\arg z$ , для комплексного числа z=a+bi и принимая во внимание, что $a=r\cos\varphi$ , $b=r\sin\varphi$ , получаем тригонометрическую форму:

$z=r\cos\varphi+r\sin\varphi\, i=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).$

Примеры 2.6.1.

$1=1(\cos 0+i\sin 0)$ ;
$i=1\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)$ ;
$z=-1+\sqrt{3}i$ , $r=|z|=\sqrt{1+3}=2$ , $\cos\varphi=-\frac{1}{2}$ , $\sin\varphi\=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\varphi\=\frac{2\pi}{3}$ , поэтому
$z=-1+\sqrt{3}i=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}\+i\sin\frac{2\pi}{3}\right);$
$\cos\varphi-i\sin\varphi=\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)$ .

Теорема 2.6.2 (о единственности тригонометрической формы). Если $0\neq z=a+bi\in C$ и

$z=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2),$

где $R\ni r_1>0$ , $R\ni r_2>0$ , то

$r_1=r_2\quad \text{и}\quad \varphi_1-\varphi_2=2\pi k,\ \ k\in Z.$

Доказательство. Из единственности алгебраической формы имеем

$a=r_1\cos\varphi_1=r_2\cos\varphi_2,\quad b=r_1\sin\varphi_1=r_2\sin\varphi_2.$

Возводя в квадрат и складывая, получаем

$r_1^2=r_1^2(\cos^2\varphi_1+\sin^2\varphi_1)= r_2^2(\cos^2\varphi_2+\sin^2\varphi_2)=r_2^2.$

Так как r₁>0, r₂>0, то r₁=r₂. Поэтому $\cos\varphi_1=\cos\varphi_2$ , $\sin\varphi_1\=\sin\varphi_2$ , следовательно, $\varphi_1-\varphi_2=2\pi k$ , $k\in Z$ .

Следствие 2.6.3. Если

$0\neq z=a+bi\in C,\quad z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),\ \ R\ni r>0,$

то

$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2},\quad \varphi=\arg z$

)т. е. $\arg z=\varphi+2\pi k$ , $k\in Z$ ).

Упражнение 2.6.4. Если $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ , r>0, то

$\begin{align*} -z &= r(\cos(\varphi+\pi)+i\sin(\varphi+\pi)),\\ \bar z &= r(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)). \end{align*}$

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

Алгебраическая форма записи комплексных чисел удобна для операций сложения и разности. Как мы сейчас убедимся, тригонометрическая форма записи ненулевых комплексных чисел удобна для операции умножения (и как следствие - для деления, возведения в степень, извлечения корней).

Теорема 2.7.1. Если

$z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1),\quad z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2),$

r₁>0, r₂>0, $r_1,r_2\in R$ , то

$z_1z_2=(r_1r_2)(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)),$

т. е. |z₁z₂|=|z₁|,|z₂|, $\arg z_1z_2=(\varphi_1+\varphi_2)+2\pi k$ (аргумент произведения равен сумме аргументов).

Доказательство.

$\begin{align*} & z_1z_2=(r_1r_2)((\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2)+{} \\ & \quad {}+ i(\cos\varphi_1\sin\varphi_2+\sin\varphi_1\cos\varphi_2))={} \\ & \quad {}=(r_1r_2)(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)), \end{align*}$

r₁r₂>0. Итак, это тригонометрическая форма для z₁z₂, поэтому

$|z_1z_2|=r_1r_2=|z_1|\,|z_2|,\quad\arg z_1z_2=(\varphi_1+\varphi_2)+2\pi k.$

Следствие 2.7.2. $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ для $z_1,z_2\in C$ , $z_2\neq 0$ , $\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)\=\arg z_1-\arg z_2$ . В частности, |z^-1|=|z|^-1, $\arg z^{-1} =-\arg z$ .

Доказательство. Если $z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)$ , |z₁|=r₁, $\arg z_1\=\varphi_1+2\pi k$ , $z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)$ , |z₂|=r₂, $\arg z_2\=\varphi_2+2\pi k$ , то

$r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)\cdot \smash[b]{\frac{r_1}{r_2}} (\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2))={} \\ {}=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1),$

следовательно,

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+ i\sin(\varphi_1-\varphi_2)),\quad \frac{r_1}{r_2}>0,$

поэтому

$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{r_1}{r_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|},\quad \arg \frac{z_1}{z_2}=(\varphi_1-\varphi_2)+2\pi k,\ \ k\in Z.$

Если

$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),\quad r>0,$

то

$z^{-1}=\frac{1}{r}(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)),$

и поэтому

$|z^{-1}|=\frac{1}{r}=|z|^{-1},\quad \arg z^{-1}=-\varphi+2\pi k,\ \ k\in Z.$

Следствие 2.7.3. Умножение комплексного числа z на комплексное число $r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ , r>0, означает "растяжение" вектора z в r раз и поворот полученного вектора на угол $\varphi$ (т. е. умножение модуля |z| на r, а затем прибавление $\varphi$ к $\arg z$ ).

В частности, умножение комплексного числа на $\cos\varphi+i\sin\varphi$ равносильно повороту на $\varphi$ )умножение на $i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}$ означает поворот плоскости вокруг начала координат на $\frac{\pi}{2}$ ).